Lebesgueraum/Punktauswertung/Aufgabe

Es sei ${}X$ ein Maßraum, ${}x\in X$ ein fixierter Punkt und ${}p\geq 1$.

1. Zeige, dass die Auswertung

   ${\mathcal {L}}^{p}(X)\longrightarrow {\mathbb {K} },\,f\longmapsto f(x),$

   im Allgemeinen nicht stetig ist, wenn ${}{\mathcal {L}}^{p}(X)$ mit der ${}p$-Halbnorm versehen ist.

2. Zeige, dass die Auswertung an ${}x$ auf ${}L^{p}(X)$ nicht wohldefiniert ist.

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