Lehrkraft/Notenverschiebungen/Wahrscheinlichkeiten/Aufgabe

Frau Selena Popescu ist eine gut ausgebildete und engagierte Lehrerin. Wenn sie eine Klasse ein Jahr lang unterrichtet, kann man im langjährigen Mittel folgende Notenbewegungen beobachten. Ein Kind, das zuvor eine $1$ hatte, bleibt mit Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{6}$ bei einer $1$ und verschlechtert sich mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ auf eine $2$. Ein Kind, das zuvor eine $2,3,4$ oder $5$ hatte, bleibt mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ bei seiner Note, es verbessert sich mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$ um eine Note und es verschlechtert sich mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ um eine Note. Ein Kind, das zuvor eine $6$ hatte, verbessert sich mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ auf eine $5$ und bleibt mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ bei der $6$.

Adriane hatte zuletzt eine $3$, dann bekam sie Frau Popescu als Lehrerin.

1. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass Adriane nach zwei Jahren bei Frau Popescu eine $1,2,3,4,5,6$ bekommt.
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Adriane nach drei Jahren bei Frau Popescu eine $1$ bekommt?
3. Angenommen, alle Kinder hatten zuvor eine $3$. Was ist der Klassendurchschnitt, wenn Frau Popescu zwei Jahre lang die Klasse unterrichtet (man denke an $36$ Kinder)?
4. Ist es möglich, dass sich der Klassendurchschnitt in einem Jahr verschlechtert, wenn Frau Popescu eine Klasse übernimmt?

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