Lehrkraft/Notenverschiebungen/Wahrscheinlichkeiten/Aufgabe/Lösung

1. Um in den zwei Jahren auf eine ${}1$ zu kommen, gibt es nur die Möglichkeit, sich in beiden Jahren zu verbessern, die Wahrscheinlichkeit dafür ist

   ${}{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{9}}={\frac {4}{36}}\,.$

   Um nach zwei Jahren auf einer ${}2$ zu stehen, muss sie sich in einem Jahr verbessern und im anderen Jahr gleich bleiben. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit

   ${}2\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}={\frac {12}{36}}\,.$

   Um nach zwei Jahren auf einer ${}3$ zu stehen, gibt es drei Möglichkeiten. Sie kann in beiden Jahren bei der gleichen Note bleiben oder sich zuerst verbessern und dann wieder verschlechtern oder umgekehrt. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit

   ${}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}={\frac {13}{36}}\,.$

   Um nach zwei Jahren auf einer ${}4$ zu stehen, muss sie sich in einem Jahr verschlechtern und im anderen Jahr gleich bleiben. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit

   ${}2\cdot {\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{6}}={\frac {6}{36}}\,.$

   Um nach zwei Jahren auf einer ${}5$ zu stehen, muss sie sich in beiden Jahren verschlechtern. Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit

   ${}{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{6}}={\frac {1}{36}}\,.$

   Auf eine ${}6$ abzufallen hat die Wahrscheinlichkeit ${}0$.

2. Es gibt die beiden Möglichkeiten, dass sie ihre nach zwei Jahren erworbene ${}1$ im dritten Jahr behält oder dass sie ihre ${}2$ vom zweiten Jahr im dritten Jahr verbessert. Unter Verwendung von Teil (1) ist dafür die Wahrscheinlichkeit gleich

   ${}{\frac {1}{9}}\cdot {\frac {5}{6}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {5}{54}}+{\frac {6}{54}}={\frac {11}{54}}\,.$

3. Der Klassendurchschnitt ist das arithmetische Mittel der Noten. Er ergibt sich, wenn man die Noten mit ihren Vielfachheiten aufaddiert und durch die Anzahl der Kinder dividiert. Dies führt auf

   ${}{\begin{aligned}{\frac {1\cdot 4+2\cdot 12+3\cdot 13+4\cdot 6+5\cdot 1+6\cdot 0}{36}}&={\frac {4+24+39+24+5}{36}}\\&={\frac {96}{36}}\\&={\frac {8}{3}}\\&=2,33...\end{aligned}}$

4. Wenn alle Kinder bisher eine ${}1$ hatten, so haben nach einem Jahr bei Frau Popescu nur noch ${}5/6$ davon eine ${}1$, der Notendurchschnitt verschlechtert sich also.

Zur gelösten Aufgabe