Leibniz-Determinante/Direkt/Determinanteneigenschaften/Aufgabe

Für eine ${}n\times n$-Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ sei

${}\delta (M)=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.$

Zeige die folgenden Aussagen direkt, ohne die Gleichheit ${}\delta (M)=\det M$ zu verwenden (Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).

a) Es ist ${}\delta (E_{n})=1$.

b) ${}\delta$ ist multilinear in den Zeilen der Matrix.

c) ${}\delta$ ist alternierend in den Zeilen der Matrix.

d) Man folgere aus a),b),c), dass ${}\delta (M)=\det M$ ist.

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