Leibniz-Determinante/Direkt/Determinanteneigenschaften/Aufgabe/Lösung

a) Es sei ${}M=E_{n}={\left(a_{ij}\right)}$ die Einheitsmatrix. Für jede Permutation

${}\pi \neq \operatorname {Id} \,$

gibt es ein ${}i$ mit ${}\pi (i)\neq i$, daher ist

${}a_{i\pi (i)}=0\,.$

Diese Summanden fallen also weg und übrig bleibt

${}\delta (E_{n})=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}=\operatorname {sgn} (\operatorname {Id} )\prod _{i=1}^{n}a_{ii}=1\,.$

b) Für jede Permutation ${}\pi$ ist die Zuordnung

$\operatorname {Mat} _{n}(K)\longrightarrow K,\,M\longmapsto a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)},$

multilinear, wie unmittelbar aus dem Distributivgesetz für ${}K$ folgt. Da jede Linearkombination von Multilinearformen wieder eine Multilinearform ist, ist ${}\delta$ multilinear.

c) Es seien die ${}r$-te und die ${}s$-te Zeile der Matrix ${}M$ identisch (${}r\neq s$), also

${}a_{rj}=a_{sj}\,$

für alle ${}j$. Es sei ${}\tau$ die Transposition, die ${}r$ und ${}s$ vertauscht. Man kann jede Permutation ${}\pi$ eindeutig als ${}\rho$ bzw. als ${}\rho \tau$ schreiben, wobei ${}\rho$ sämtliche geraden Permutationen durchläuft. Daher ist

${}{\begin{aligned}\delta (M)&=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\\&=\sum _{\rho {\text{ gerade }}}{\left(\operatorname {sgn} (\rho )\prod _{i=1}^{n}a_{i\rho (i)}+\operatorname {sgn} (\rho \tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i\rho \tau (i)}\right)}\\&=\sum _{\rho {\text{ gerade }}}{\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i\rho (i)}-\prod _{i=1}^{n}a_{i\rho \tau (i)}\right)}\\&=\sum _{\rho {\text{ gerade }}}{\left(a_{r\rho (r)}a_{s\rho (s))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho (i)}-a_{r\rho \tau (r)}a_{s\rho \tau (s))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho \tau (i)}\right)}\\&=\sum _{\rho {\text{ gerade }}}{\left(a_{r\rho (r)}a_{s\rho (s))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho (i)}-a_{r\rho (s)}a_{s\rho (r))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho (i)}\right)}\\&=\sum _{\rho {\text{ gerade }}}{\left(a_{r\rho (r)}a_{s\rho (s))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho (i)}-a_{r\rho (r)}a_{s\rho (s))}\prod _{i\neq r,s,\,i=1}^{n}a_{i\rho (i)}\right)}\\&=0.\end{aligned}}$

d) Nach a), b), c) liegt in ${}\delta$ eine alternierende Multilinearform vor, die auf der Einheitsmatrix den Wert ${}1$ besitzt. Aufgrund der universellen Eigenschaft der Determinante

muss also ${}\delta$ mit der Determinante übereinstimmen.

Zur gelösten Aufgabe