Lineare Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung linear/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien  $w_1,w_2\in W$.  Wegen der Bijektivität gibt es eindeutige  $v_1,v_2\in V$  mit  $\phi (v_1)=w_1$  und  $\phi (v_2)=w_2$.  Somit ist

$\begin{array}{cc}{\phi }^{-1}(w_1+w_2)& ={\phi }^{-1}(\phi (v_1)+\phi (v_2))\\ & ={\phi }^{-1}(\phi (v_1+v_2))\\ & =v_1+v_2\\ & ={\phi }^{-1}(w_1)+{\phi }^{-1}(w_2).\end{array}$

Entsprechend ist (mit $s\in K$)

$\begin{array}{cc}{\phi }^{-1}(sw)& ={\phi }^{-1}(s\phi (v))\\ & ={\phi }^{-1}(\phi (sv))\\ & =sv\\ & =s{\phi }^{-1}(w).\end{array}$

Zur bewiesenen Aussage