Lineare Abbildung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Definition: Lineare Abbildung[Bearbeiten]

Seien und Vektorräume über einem gemeinsamen Grundkörper . Eine Abbildung heißt lineare Abbildung, wenn für alle und die folgenden Bedingungen gelten:

  • ist homogen:
  • ist additiv:

Alternative Definition Lin. Abb.[Bearbeiten]

Die zwei obigen Bedingungen kann man auch zusammenfassen:

  • Für liefert diese die Bedingung für die Homogenität und
  • für in Eigenschaft für die Additivität.

Eine weitere, gleichwertige Bedingung ist die Forderung, dass der Graph der Abbildung ein Untervektorraum der Summe der Vektorräume und ist.

Übung[Bearbeiten]

Seien zwei -Vektorräume und eine Abbildung. Beweisen Sie, dass die folgende Äquivalenz gilt:

  • Zeit: 10min
  • Formale Schreibweise - Hinweise - Beweistypen

Beispiele 1[Bearbeiten]

Für hat jede lineare Abbildung die Gestalt mit . In der Schule werden lineare Funktionen behandelt. Dort bezeichnet man in der Regel Funktionen der Form mit als linear. Solche affinelineare Abbildungen sind aber nur für tatsächlich lineare Abbildungen: Für und ist und die Linearitätseigenschaften ist nicht erfüllt:

.

Beispiele 2[Bearbeiten]

Es sei und . Dann wird für jede -Matrix mit Hilfe der Matrizenmultiplikation eine lineare Abbildung

durch

definiert. Jede lineare Abbildung von nach kann so dargestellt werden.

Beispiele 3[Bearbeiten]

  • Ist ein offenes Intervall, der -Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf und
  • der -Vektorraum der stetigen Funktionen auf , so ist die Abbildung
, ,

die jeder Funktion ihre Ableitung zuordnet, linear. Entsprechendes gilt für andere lineare Differentialoperatoren.

Bild[Bearbeiten]

Zwei bei der Betrachtung linearer Abbildungen wichtige Mengen sind das Bild und der Kern einer linearen Abbildung .

  • Das Bild der Abbildung ist die Menge der Bildvektoren unter , also die Menge aller mit aus . Die Bildmenge wird daher auch durch notiert.
  • Das Bild ist ein Untervektorraum von .

Kern[Bearbeiten]

  • Der Kern der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus , die durch auf den Nullvektor von abgebildet werden.
  • Der Kern ist ein Untervektorraum von . Die Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält.

Klassifizierung von linearen Abbildungen[Bearbeiten]

Lineare Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) können wie folgt klassifziert werden:

  • Monomorphismus: Injektive lineare Abbildung
  • Epimorphismus: Surjektive lineare Abbildung
  • Isomorphismus: Bijektive lineare Abbildung
  • Endomorphismus: Lineare Selbstabbildung
  • Automorphismus: Bijektive lineare Selbstabbildung

Monomorphismus: Injektivität[Bearbeiten]

Ein Monomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung , die injektiv ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind.

Epimorphismus: Surjektivität[Bearbeiten]

Ein Epimorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung , die surjektiv ist. Das ist genau dann der Fall, wenn der Rang der Darstellungsmatrix gleich der Dimension von ist.

Isomorphismus: Bijektivität[Bearbeiten]

Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung , die bijektiv ist. Das ist genau der Fall, wenn die Darstellungsmatrix regulär ist. Die beiden Räume und bezeichnet man dann als isomorph.

Endomorphismus: Lineare Selbstabbildung[Bearbeiten]

Ein Endomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung, bei der die Räume und gleich sind: . Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine quadratische Matrix.

Automorphismus: Bijektive lineare Selbstabbildung[Bearbeiten]

Ein Automorphismus zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung, bei der die Räume und gleich sind. Er ist also sowohl ein Isomorphismus als auch ein Endomorphismus. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine reguläre Matrix.

Seiten-Information[Bearbeiten]