Lineare Abbildung

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Definition: Lineare Abbildung[Bearbeiten]

Seien und Vektorräume über einem gemeinsamen Grundkörper . Eine Abbildung heißt lineare Abbildung, wenn für alle und die folgenden Bedingungen gelten:

  • ist homogen:
  • ist additiv:

Alternative Definition Lin. Abb.[Bearbeiten]

Die zwei obigen Bedingungen kann man auch zusammenfassen:

  • Für liefert diese die Bedingung für die Homogenität und
  • für in Eigenschaft für die Additivität.

Eine weitere, gleichwertige Bedingung ist die Forderung, dass der Graph der Abbildung ein Untervektorraum der Summe der Vektorräume und ist.

Übung[Bearbeiten]

Seien zwei -Vektorräume und eine Abbildung. Beweisen Sie, dass die folgende Äquivalenz gilt:

  • Zeit: 10min
  • Formale Schreibweise - Hinweise - Beweistypen

Beispiele 1[Bearbeiten]

Für hat jede lineare Abbildung die Gestalt mit . In der Schule werden lineare Funktionen behandelt. Dort bezeichnet man in der Regel Funktionen der Form mit als linear. Solche affinelineare Abbildungen sind aber nur für tatsächlich lineare Abbildungen: Für und ist und die Linearitätseigenschaften ist nicht erfüllt:

.

Beispiele 2[Bearbeiten]

Es sei und . Dann wird für jede -Matrix mit Hilfe der Matrizenmultiplikation eine lineare Abbildung

durch

definiert. Jede lineare Abbildung von nach kann so dargestellt werden.

Beispiele 3[Bearbeiten]

  • Ist ein offenes Intervall, der -Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf und
  • der -Vektorraum der stetigen Funktionen auf , so ist die Abbildung
, ,

die jeder Funktion ihre Ableitung zuordnet, linear. Entsprechendes gilt für andere lineare Differentialoperatoren.

Bild[Bearbeiten]

Zwei bei der Betrachtung linearer Abbildungen wichtige Mengen sind das Bild und der Kern einer linearen Abbildung .

  • Das Bild der Abbildung ist die Menge der Bildvektoren unter , also die Menge aller mit aus . Die Bildmenge wird daher auch durch notiert.
  • Das Bild ist ein Untervektorraum von .

Kern[Bearbeiten]

  • Der Kern der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus , die durch auf den Nullvektor von abgebildet werden.
  • Der Kern ist ein Untervektorraum von . Die Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält.

Seiten-Information[Bearbeiten]