Lineare Abbildung/Gruppenoperation/Kern und Bild/Invariant/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}v\in \operatorname {kern} \varphi$ und ${}g\in G$. Wegen der Verträglichkeit von ${}\varphi$ mit den Gruppenoperationen ist

${}\varphi (gv)=g(\varphi (v))=g(0)=0\,,$

also ist ${}gv\in \operatorname {kern} \varphi$ und der Kern ist invariant. Bei ${}w\in \operatorname {bild} \varphi$, sagen wir ${}w=\varphi (v)$, und ${}g\in G$ ist wiederum

${}\varphi (gv)=g(\varphi (v))=g(w)\,,$

also ${}gv\in \operatorname {bild} \varphi$ und das Bild ist ebenfalls invariant.

Zur bewiesenen Aussage