Lineare Abbildung/Gruppenoperation/Kern und Bild/Invariant/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}v\in \operatorname {kern} \varphi$  und  ${}g\in G$.  Wegen der Verträglichkeit von ${}\varphi$ mit den Gruppenoperationen ist

${}\varphi (gv)=g(\varphi (v))=g(0)=0\,,$

also ist  ${}gv\in \operatorname {kern} \varphi$  und der Kern ist invariant. Bei  ${}w\in \operatorname {bild} \varphi$,  sagen wir  ${}w=\varphi (v)$,  und  ${}g\in G$  ist wiederum

${}\varphi (gv)=g(\varphi (v))=g(w)\,,$

also  ${}gv\in \operatorname {bild} \varphi$  und das Bild ist ebenfalls invariant.

Zur bewiesenen Aussage