Lineare Abbildung/Kern ist Untervektorraum/Beweise Injektivitätskriterium/Aufgabe/Lösung

a) Bei einer linearen Abbildung ist $φ (0) = 0$ , also ist $0 \in kern φ$ . Es seien $u, v \in kern φ$ . Dann ist $φ (u + v) = φ (u) + φ (v) = 0 + 0 = 0$ , also $u + v \in kern φ$ . Für $v \in kern φ$ und $a \in K$ ist schließlich

φ (a v) = a φ (v) = a 0 = 0,

also $a v \in kern φ$ . Damit ist der Kern ein Untervektorraum von $V$ .

b) Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben $0 \in V$ keinen weiteren Vektor $v \in V$ mit $φ (v) = 0$ geben. Also ist $φ^{- 1} (0) = {0}$ .
Es sei umgekehrt $kern φ = 0$ und seien $v_{1}, v_{2} \in V$ gegeben mit $φ (v_{1}) = φ (v_{2})$ . Dann ist wegen der Linearität

φ (v_{1} - v_{2}) = φ (v_{1}) - φ (v_{2}) = 0 .

Daher ist $v_{1} - v_{2} \in kern φ$ und damit

v_{1} = v_{2}

.

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