Lineare Abbildung/Kern ist Untervektorraum/Beweise Injektivitätskriterium/Aufgabe/Lösung

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a) Bei einer linearen Abbildung ist , also ist . Seien . Dann ist , also . Für und ist schließlich

also . Damit ist der Kern ein Untervektorraum von .

b) Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben keinen weiteren Vektor mit geben. Also ist .
Sei umgekehrt und seien gegeben mit . Dann ist wegen der Linearität

Daher ist und damit

.
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