Lineare Abbildung/Kern von 2152 3-27-1 2-1-43/Aufgabe/Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem

{\begin{matrix}2x&+y&+5z&+2w&=&0\\3x&-2y&+7z&\,\,\,\,-w&=&0\\2x&\,\,\,\,-y&-4z&+3w&=&0\,\end{matrix}}

zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der ersten Gleichung die Variable ${}y$ . Das resultierende System ist ( ${}II'=II+2I$ , ${}III'=III+I$ )

{\begin{matrix}2x&+y&+5z&+2w&=&0\\7x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+17z&+3w&=&0\\4x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+5w&=&0\,.\end{matrix}}

Wir eliminieren nun aus

{}II'

mittels

{}III'

die Variable

{}z

, das ergibt

( ${}II'-17III'$ )

{\begin{matrix}2x&+y&+5z&+2w&=&0\\4x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+5w&=&0\\-61x&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&-82w&=&0\,.\end{matrix}}

Wir können jetzt dieses System lösen, wobei ${}x\neq 0$ die anderen Variablen eindeutig festlegt. Es sei ${}x=82$ . Dann ist ${}w=-61$ . Damit ist

{}z=-4x-5w=-4\cdot 82-5(-61)=-328+305=-23\,.

Schließlich ist

{}y=-2x-5z-2w=-2(82)-5(-23)-2(-61)=-164+115+122=73\,.

Die Lösungsmenge, also der Kern, ist somit

{\left\{s{\begin{pmatrix}82\\73\\-23\\-61\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}.