Lineare Abbildung/Kern von 2152 3-27-1 2-1-43/Aufgabe/Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem

\begin{matrix} 2 x & + y & + 5 z & + 2 w & = & 0 \\ 3 x & - 2 y & + 7 z & - w & = & 0 \\ 2 x & - y & - 4 z & + 3 w & = & 0 \end{matrix}

zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der ersten Gleichung die Variable $y$ . Das resultierende System ist ( $I I^{'} = I I + 2 I$ , $I I I^{'} = I I I + I$ )

\begin{matrix} 2 x & + y & + 5 z & + 2 w & = & 0 \\ 7 x & + 17 z & + 3 w & = & 0 \\ 4 x & + z & + 5 w & = & 0 . \end{matrix}

Wir eliminieren nun aus

I I^{'}

mittels

I I I^{'}

die Variable

z

, das ergibt

( $I I^{'} - 17 I I I^{'}$ )

\begin{matrix} 2 x & + y & + 5 z & + 2 w & = & 0 \\ 4 x & + z & + 5 w & = & 0 \\ - 61 x & - 82 w & = & 0 . \end{matrix}

Wir können jetzt dieses System lösen, wobei $x \neq 0$ die anderen Variablen eindeutig festlegt. Es sei $x = 82$ . Dann ist $w = - 61$ . Damit ist

z = - 4 x - 5 w = - 4 \cdot 82 - 5 (- 61) = - 328 + 305 = - 23 .

Schließlich ist

y = - 2 x - 5 z - 2 w = - 2 (82) - 5 (- 23) - 2 (- 61) = - 164 + 115 + 122 = 73 .

Die Lösungsmenge, also der Kern, ist somit

{s (\begin{matrix} 82 \\ 73 \\ - 23 \\ - 61 \end{matrix}) ∣ s \in ℝ} .

Zur gelösten Aufgabe