Lineare Abbildung/Verknüpfung/Fakt/Beweis

Beweis

Für $u_{1}, u_{2} \in U$ ist

\begin{matrix} (ψ \circ φ) (u_{1} + u_{2}) & = ψ (φ (u_{1} + u_{2})) \\ = ψ (φ (u_{1}) + φ (u_{2})) \\ = ψ (φ (u_{1})) + ψ (φ (u_{2})) \\ = (ψ \circ φ) (u_{1}) + (ψ \circ φ) (u_{2}) \end{matrix}

und für $u \in U$ , $s \in K$ ist

\begin{matrix} (ψ \circ φ) (s u) & = ψ (φ (s u)) \\ = ψ (s φ (u)) \\ = s ψ (φ (u)) \\ = s (ψ \circ φ) (u), \end{matrix}

was insgesamt die Linearität der Hintereinanderschaltung bedeutet.