Lineare Abbildungen und Sesquilinearformen/Korrespondenz mit Basis/Skalarprodukt/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}\varphi (v_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}v_{j}\,,$

die Einträge in der beschreibenden Matrix zu ${}\varphi$ sind also ${}a_{ji}$. Die Gramsche Matrix zu ${}\Psi _{\varphi }$ ergibt sich, indem man ${}\Psi _{\varphi }$ auf alle Paare der Basis anwendet. Dies ergibt

${}{\begin{aligned}\Psi _{\varphi }(v_{i},v_{j})&=\left\langle \varphi (v_{i}),v_{j}\right\rangle \\&=\left\langle \sum _{k=1}^{n}a_{ki}v_{k},v_{j}\right\rangle \\&=\sum _{k=1}^{n}a_{ki}\left\langle v_{k},v_{j}\right\rangle \\&=a_{ji}.\end{aligned}}$

Also stimmen die Matrizen überein.

Zur gelösten Aufgabe