Lineare Abbildungen und Sesquilinearformen/Korrespondenz mit Basis/Skalarprodukt/Aufgabe/Lösung

Es sei

$\phi (v_i)=\sum _{j=1}^n{a}_{ji}{v}_j,$

die Einträge in der beschreibenden Matrix zu $\phi$ sind also $a_{ji}$. Die Gramsche Matrix zu ${\mathrm{\Psi }}_{\phi }$ ergibt sich, indem man ${\mathrm{\Psi }}_{\phi }$ auf alle Paare der Basis anwendet. Dies ergibt

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Psi }}_{\phi }(v_i,v_j)& =⟨\phi (v_i),v_j⟩\\ & =⟨\sum _{k=1}^n{a}_{ki}{v}_k,v_j⟩\\ & =\sum _{k=1}^n{a}_{ki}⟨v_k,v_j⟩\\ & =a_{ji}.\end{array}$

Also stimmen die Matrizen überein.

Zur gelösten Aufgabe