Lineare Abbildungen und Sesquilinearformen/Korrespondenz mit Basis/Skalarprodukt/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das durch

${}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle ={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j,\\0\,{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

definierte Skalarprodukt auf ${}V$. Zu einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ bezeichne ${}\Psi _{\varphi }$ die (über $\left\langle -,-\right\rangle$) zugehörige Sesquilinearform. Zeige, dass die Gramsche Matrix von ${}\Psi _{\varphi }$ bezüglich der Basis mit der beschreibenden Matrix von ${}\varphi$ bezüglich der Basis übereinstimmt.

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