Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Manipulationen/Fakt/Beweis

Beweis

Die meisten Aussagen sind direkt klar. (2) ergibt sich einfach daraus, dass, wenn

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} ξ_{i} = c

gilt, dann auch

\sum_{i = 1}^{n} (s a_{i}) ξ_{i} = s c

für jedes $s \in K$ gilt. Bei $s \neq 0$ kann man diesen Übergang durch Multiplikation mit $s^{- 1}$ rückgängig machen.

(6). Es sei $G$ die Gleichung

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} = c

und $H$ die Gleichung

\sum_{i = 1}^{n} b_{i} x_{i} = d .

Wenn ein Tupel $(ξ_{1}, \dots, ξ_{n}) \in K^{n}$ die beiden Gleichungen erfüllt, so erfüllt es auch die Gleichung $H^{'} = G + H$ . Und wenn das Tupel die beiden Gleichungen $G$ und $H^{'}$ erfüllt, so auch die Gleichung $G$ und $H = H^{'} - G$ .

Zur bewiesenen Aussage