Beweis
Wegen
-
![{\displaystyle {}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}0=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf36ebeb2cf3bc05be414b0d42c235f2c776eef)
für alle
-
![{\displaystyle {}i=1,\ldots ,m\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5f9d0b3e562028dbb943592af43eb2b2af50f3)
ist das Nulltupel
eine Lösung. Es seien
und
Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu
ist dann für jedes
-
![{\displaystyle {}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(sx_{j}\right)}=s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}=s\cdot 0=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd62ebf8f894c56b9d0b847379e0aa59a32266e)
Entsprechend ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(x_{j}+y_{j}\right)}&=\sum _{j=1}^{n}{\left(a_{ij}x_{j}+a_{ij}y_{j}\right)}\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}+{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}\\&=0+0\\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c296f03a3369bc7e627bcd0624d1b4713c7ba44e)
für alle
. Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.