Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe/Lösung

1. Man nennt die Menge

   $M=\prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:\,x_{i}\in M_{i}{\text{ für }}{\text{alle }}i\in I\}$

   die Produktmenge der ${}M_{i}$.

2. Eine ${}m\times n$-Matrix über ${}K$ ist ein Schema der Form

   ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$

   wobei die ${}a_{ij}$ aus ${}K$ sind.

3. Die Abbildung ${}\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben. Dann nennt man

   ${}\det \varphi :=\det M\,$

   die Determinante der linearen Abbildung ${}\varphi$.

4. Man nennt

   $\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$

   die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.

5. Das Polynom

   ${}\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,$

   heißt charakteristisches Polynom von ${}M$.

6. Man nennt ${}n$ die Dimension von ${}E$, wenn es in ${}E$ eine affine Basis mit ${}n+1$ Elementen gibt.

Zur gelösten Aufgabe