Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/29/Aufgabe/Lösung

1. Ein Körper ${}K$ ist ein kommutativer Ring, wenn ${}K\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element in ${}K$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
2. Zu ${}x\in M$ heißt ${}y\in M$ inverses Element, wenn die Gleichheit

   ${}x\circ y=e=y\circ x\,$

   gilt.

3. Die Matrizen ${}M,N$ heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix ${}B$ mit ${}M=BNB^{-1}$ gibt.
4. Die Abbildung

   $\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K$

   heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

   1. ${}\triangle$ ist multilinear.
   2. ${}\triangle$ ist alternierend.
5. Man nennt die Menge

   ${}\operatorname {Aut} \,(M)=\operatorname {Perm} \,(M)={\left\{\varphi :M\longrightarrow M\mid \varphi {\text{ bijektiv}}\right\}}\,$

   der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu ${}M$.

6. Ein Element ${}\lambda \in K$ heißt ein Eigenwert zu ${}\varphi$, wenn es einen von ${}0$ verschiedenen Vektor ${}v\in V$ mit

   ${}\varphi (v)=\lambda v\,$

   gibt.

Zur gelösten Aufgabe