Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/50/Aufgabe/Lösung

1. Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt

   $F^{-1}(T)={\left\{x\in L\mid F(x)\in T\right\}}$

   das Urbild von ${}T$ unter ${}F$.

2. Eine Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von Vektoren in ${}V$ heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
3. Man nennt

   ${}U^{\perp }={\left\{f\in {V}^{*}\mid f(u)=0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\subseteq {V}^{*}\,$

   den Orthogonalraum zu ${}U$.

4. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
   1. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$.
   2. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.
5. Der Endomorphismus ${}\varphi$ heißt diagonalisierbar, wenn ${}V$ eine Basis aus Eigenvektoren zu ${}\varphi$ besitzt.
6. Eine Familie von Punkten ${}P_{i}\in E$, ${}i\in I$, in einem affine Raum ${}E$ über einem ${}K$-Vektorraum ${}V$ heißt eine affine Basis von ${}E$, wenn zu einem ${}i_{0}\in I$ die Vektorfamilie

   ${\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}},i\in I\setminus \{i_{0}\},$

   eine Basis von ${}V$ ist.

Zur gelösten Aufgabe