Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper ${}K$ in Dreiecksgestalt

   ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\ldots &+a_{1m}x_{m}&\ldots &+a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\0&a_{22}x_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &+a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&a_{mm}x_{m}&\ldots &+a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\\\end{matrix}}$

   gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente alle ungleich ${}0$ seien. Dann stehen die Lösungen ${}(x_{1},\ldots ,x_{m},x_{m+1},\ldots ,x_{n})$ in Bijektion zu den Tupeln ${}(x_{m+1},\ldots ,x_{n})\in K^{n-m}$.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gilt für Matrizen ${}A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung

   ${}\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Es sei

   $\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}$

   das charakteristische Polynom zu ${}M$. Dann gilt

   $\chi _{M}\,(M)=M^{n}+c_{n-1}M^{n-1}+\cdots +c_{1}M+c_{0}=0.$