Lineare Differentialgleichung/Zentralfeld/Gestalt/Aufgabe/Lösung

Es sei ein Zeitpunkt ${}t\in I$ fixiert. Das Vektorfeld wird zu diesem Zeitpunkt durch die Matrix

${}N:=M(t)=(a_{ij}(t))_{i,j}\,$

beschrieben. Da es sich um ein Zentralfeld handelt, ist für jeden Vektor ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ der Vektor ${}M(t)v$ linear abhängig zu ${}v$. Dies bedeutet, dass jeder Vektor ein Eigenvektor zur Matrix ${}N$ ist. Dies kann aber nur sein, wenn überhaupt nur ein Eigenwert vorkommt. Es ist also ${}N=\lambda \operatorname {Id}$ und man kann ${}\varphi$ durch

${}\varphi (t)=\lambda \,$

definieren.

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