Lineare Differentialgleichung/y' ist Polynom y/1/Aufgabe/Kommentar

Der erste Schritt, um eine Differentialgleichung zu lösen, ist, den Typ der Gleichung zu erkennen, und sich dann das zugehörige Lösungsverfahren heranzuziehen. In diesem Fall handelt es sich um eine gewöhnliche homogene lineare Differentialgleichung, das Vektorfeld hat die Gestalt

${}f(t,y)=g(t)\cdot y\,$

mit

${}g(t)=t^{2}-4t+5\,.$

Es ist sinnvoll, sich diese Bestandteile klar zu machen, da auf diese im Lösungsverfahren Bezug genommen wird. Für solche Differentialgleichungen ist Fakt zuständig. Wir müssen also eine Stammfunktion zu ${}g$ finden, was in diesem Fall, da es ein Polynom ist, kein Problem macht. In anderen Beispielen ist aber dies das Hauptproblem, eine Stammfunktion zu finden. Eine Stammfunktion ist

${}G(t)={\frac {1}{3}}t^{3}-2t^{2}+5t\,.$

Man könnte hier noch eine additive Konstante zulassen, doch der Lösungsansatz des Satzes ist sogar etwas allgemeiner. Nach dem Satz sind somit

$c\exp \left({\frac {1}{3}}t^{3}-2t^{2}+5t\right)$

mit einem beliebigen ${}c$ die Lösungen. Eine Integrationskonstante ${}d$ in der Stammfunktion könnte man als multiplikativen Faktor ${}c=e^{d}$

rausziehen, das würde aber nur positive Vorfaktoren ergeben.

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