Lineare Differentialgleichung/y' ist Polynom y/Anfangswertproblem/3/Aufgabe/Lösung

Eine Stammfunktion zu ${}g(t)=-4t^{3}+2t^{2}+3t+1$ ist

${}G(t)=-t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3}+{\frac {3}{2}}t^{2}+t\,.$

Nach Fakt sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich

$ce^{-t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3}+{\frac {3}{2}}t^{2}+t}$

mit einer Konstanten ${}c\in \mathbb {R}$. Die Anfangsbedingung führt auf

${}ce^{-16-{\frac {16}{3}}+6-2}=ce^{-{\frac {52}{3}}}=-5\,,$

also ist

${}c=-5e^{\frac {52}{3}}\,.$

Die Lösung des Anfangswertproblems ist also

${}y(t)=-5e^{\frac {52}{3}}e^{-t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3}+{\frac {3}{2}}t^{2}+t}=-5e^{-t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3}+{\frac {3}{2}}t^{2}+t+{\frac {52}{3}}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe