Lineare Differentialgleichung/y' ist y durch t/Störfunktion ist t^7/Aufgabe/Lösung

a) Nach dem Lösungsansatz für homogene lineare Differentialgleichungen müssen wir zuerst eine Stammfunktion von ${}{\frac {1}{t}}$ bestimmen, eine solche ist ${}\ln t$. Die Exponentialfunktion davon ist ${}t$, so dass ${}y=ct$ (mit ${}c\in \mathbb {R}$) die Lösungen von

${}y'=y/t\,$

sind.

b) Eine Stammfunktion zu ${}{\frac {t^{7}}{t}}=t^{6}$ ist

${\frac {1}{7}}t^{7}.$

Damit ist

${}{\frac {1}{7}}t^{7}\cdot t={\frac {1}{7}}t^{8}\,$

eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und somit sind

${\frac {1}{7}}t^{8}+ct,\,c\in \mathbb {R} ,$

alle Lösungen.

c) Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung ${}y(1)=5$ erfüllt sein soll, so muss

${}{\frac {1}{7}}+c=5\,$

gelten, also

${}c=5-{\frac {1}{7}}={\frac {34}{7}}\,.$

Die Lösungs des Anfangsproblems ist also

${}y(t)={\frac {1}{7}}t^{8}+{\frac {34}{7}}t\,.$

Zur gelösten Aufgabe