Es sei
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![{\displaystyle {}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y+f(t)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef3a0846904f1ff20aa005b9ff85e81a7a73bb5)
eine lineare
gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung
mit konstanten Koeffizienten, d.h. die
sind reelle
(oder komplexe)
Zahlen. Das
gemäß Fakt
zugehörige Differentialgleichungssystem
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![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b5ffeec312069b18bc8e7748d876101a9328e06)
mit
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![{\displaystyle {}v_{i}:=y^{(i)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9ad3fef94d65cec6b5243b433e8bb18001c91e)
und
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![{\displaystyle h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1}):=-a_{n-1}v_{n-1}-\cdots -a_{1}yv_{1}-a_{0}v_{0}-f(t)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e6983104de31e2cd300fc661499846f8542e0f9)
wird in dieser Situation zum
linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten
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![{\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &\ldots &0\\0&0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &\ldots &0&1&0\\0&0&\ldots &\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\\vdots \\0\\-f(t)\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c387054190788fce11ca90451727ad2ef0f0632)