Lineare Differentialgleichung höherer Ordnung/Zugehöriges System/Bemerkung

Es sei

${}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y+f(t)=0\,$

eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten, d.h. die ${}a_{i}$ sind reelle (oder komplexe) Zahlen. Das gemäß Fakt zugehörige Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n-1}\\h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1})\end{pmatrix}}\,$

mit

${}v_{i}:=y^{(i)}\,$

und

$h(t,v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n-1}):=-a_{n-1}v_{n-1}-\cdots -a_{1}yv_{1}-a_{0}v_{0}-f(t)\,$

wird in dieser Situation zum linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten

${\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &\ldots &0\\0&0&1&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &\ldots &0&1&0\\0&0&\ldots &\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\\vdots \\v_{n-2}\\v_{n-1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\\vdots \\0\\-f(t)\end{pmatrix}}\,.$