Differentialgleichungen höherer Ordnung/Zugehöriges System erster Ordnung/Fakt

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein Intervall,  $U\subseteq {ℝ}^n$  eine offene Menge und

$h:I\times U⟶ℝ$

eine Funktion.

Dann ist die Differentialgleichung höherer Ordnung

$y^{(n)}=h(t,y,y^{\prime },y^{\prime \prime },\dots ,y^{(n-1)})$

über die Beziehung

$v_i:=y^{(i)}$

äquivalent zum Differentialgleichungssystem

${\left(\begin{array}{c}{v}_0\\ v_1\\ ⋮\\ v_{n-2}\\ v_{n-1}\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_{n-1}\\ h(t,v_0,v_1,\dots ,v_{n-1})\end{array}\right).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen