Lineare Gleichung/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierungen/Satz vom Igel/Bemerkung

Mit dem Satz vom Igel können wir begründen, dass das Vektorbündel ${}L$ über ${}\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}$ aus Beispiel keine stetige Trivialisierung besitzt. Zunächst ist ${}S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}$ eine Teilmenge, sodass wir ${}L$ auf ${}S^{2}$ einschränken können. Wenn ${}L$ selbst trivial wäre, so wäre auch diese Einschränkung trivial. Die Einschränkung des Bündels ${}L$ auf die Einheitssphäre ist aber das Tangentialbündel der Einheitssphäre, da die Bedingung

${}ru+sv+tw=0\,$

als Orthogonalitätsrelation aufgefasst werden kann und der (extrinsische) Tangentialraum an einen Ortspunkt ${}(r,s,t)$ der Sphäre durch diese Orthogonalitätsrelation festgelegt ist. Wenn das Tangentialbündel trivial wäre, so würde es eine stetige Vektorfelder ${}u$ und ${}v$ geben, die in jedem Punkt der Sphäre eine Basis des Tangentialraumes bildeten. Der Satz vom Igel sagt aber, dass sogar jedes Vektorfeld eine Nullstelle hat, und ${}0$ kann nicht Teil einer Basis sein.