Lineare Gleichung/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierungen/Satz vom Igel/Bemerkung

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Mit dem Satz vom Igel können wir begründen, dass das Vektorbündel über aus Beispiel keine stetige Trivialisierung besitzt. Zunächst ist eine Teilmenge, so dass wir auf einschränken können. Wenn selbst trivial wäre, so wäre auch diese Einschränkung trivial. Die Einschränkung des Bündels auf die Einheitssphäre ist aber das Tangentialbündel der Einheitssphäre, da die Bedingung

als Orthogonalitätsrelation aufgefasst werden kann und der (extrinsische) Tangentialraum an einen Ortspunkt der Sphäre durch diese Orthogonalitätsrelation festgelegt ist. Wenn das Tangentialbündel trivial wäre, so würde es eine stetige Vektorfelder und geben, die in jedem Punkt der Sphäre eine Basis des Tangentialraumes bildeten. Der Satz vom Igel sagt aber, dass sogar jedes Vektorfeld eine Nullstelle hat, und kann nicht Teil einer Basis sein.