Lineare Gleichung/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierungen/Satz vom Igel/Bemerkung

Mit dem Satz vom Igel können wir begründen, dass das Vektorbündel $L$ über ${ℝ}^3\setminus \{(0,0,0)\}$ aus Beispiel keine stetige Trivialisierung besitzt. Zunächst ist  $S^2\subset {ℝ}^3\setminus \{(0,0,0)\}$  eine Teilmenge, sodass wir $L$ auf $S^2$ einschränken können. Wenn $L$ selbst trivial wäre, so wäre auch diese Einschränkung trivial. Die Einschränkung des Bündels $L$ auf die Einheitssphäre ist aber das Tangentialbündel der Einheitssphäre, da die Bedingung

$ru+sv+tw=0$

als Orthogonalitätsrelation aufgefasst werden kann und der (extrinsische) Tangentialraum an einen Ortspunkt $(r,s,t)$ der Sphäre durch diese Orthogonalitätsrelation festgelegt ist. Wenn das Tangentialbündel trivial wäre, so würde es eine stetige Vektorfelder $u$ und $v$ geben, die in jedem Punkt der Sphäre eine Basis des Tangentialraumes bildeten. Der Satz vom Igel sagt aber, dass sogar jedes Vektorfeld eine Nullstelle hat, und $0$ kann nicht Teil einer Basis sein.