Lineare Projektion/Basis/2 -5/4 3/Aufgabe/Lösung

Die Projektion $\phi$ ist durch die Bedingung

$\phi \left(\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right)$

und

$\phi \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

eindeutig festgelegt. Bezüglich dieser Basis wird die Abbildung also durch die Matrix $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ beschrieben. Die Matrix bezüglich der Standardbasis ergibt sich hieraus mit Hilfe von Fakt. Dazu berechnen wir die inverse Basiswechselmatrix:

$\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -5& 3\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 0& 13\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{5}{2}& 1\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ \frac{5}{26}& \frac{1}{13}\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$	$\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{26}& -\frac{2}{13}\\ \frac{5}{26}& \frac{1}{13}\end{array}\right)$

Daher ist

$\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -5& 3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cc}\frac{3}{26}& -\frac{2}{13}\\ \frac{5}{26}& \frac{1}{13}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -5& 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cc}\frac{3}{26}& -\frac{2}{13}\\ \frac{5}{26}& \frac{1}{13}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{13}& \frac{-4}{13}\\ \frac{-15}{26}& \frac{10}{13}\end{array}\right).$

Zur gelösten Aufgabe