Lineare inhomogene Differentialgleichung/y' ist y +e^3t/Aufgabe/Kommentar

Hier muss man zuerst wieder den Typ erkennen, es ist eine (gewöhnliche eindimensionale) lineare inhomogene Differentialgleichung. Im Normalfall muss man da zuerst die zugehörige homogene Differentialgleichung anschauen und lösen, das ist hier besonders einfach, das ist

${}y'=y\,$

mit der Lösung

${}a(t)=e^{t}\,.$

Konstanten muss man an dieser Stelle noch nicht berücksichtigen, da dies bei der „Variation der Konstanten“, dem Lösungsverfahren auf Fakt mitberücksichtigt wird. Gemäß dieses Satzes müssen wir die Störfunktion

${}h(t)=e^{3t}\,$

jetzt mitberücksichtigen. Wir müssen eine Stammfunktion von

${}{\frac {h(t)}{a(t)}}=e^{3t}e^{-t}=e^{2t}\,$

bestimmen, das ist ${}{\frac {1}{2}}e^{2t}$. Eine Lösung ist daher

${}{\frac {1}{2}}e^{2t}\cdot e^{t}={\frac {1}{2}}e^{3t}\,.$

Dies sollte man durch Ableiten bestätigen.

Zur kommentierten Aufgabe