Lineare surjektive Abbildung/Linearer Schnitt/Als affin-linearer Raum/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung.

a) Zeige: ${}\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung

$\psi \colon W\longrightarrow V$

mit

${}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{W}\,$

gibt.

b) Es sei nun ${}\varphi$ surjektiv, es sei

${}S={\left\{\psi :W\rightarrow V\mid \psi {\text{ linear}},\,\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{W}\right\}}\,$

und es sei ${}\psi _{0}\in S$ fixiert. Definiere eine Bijektion zwischen ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(W,\operatorname {kern} \varphi \right)}$ und ${}S$, unter der ${}0$ auf ${}\psi _{0}$ abgebildet wird.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen