Lineare surjektive Abbildung/Linearer Schnitt/Als affin-linearer Raum/Aufgabe/Lösung

a) $\Leftarrow$ Es gebe eine lineare Abbildung $\psi$ mit der angegebenen Eigenschaft $\phi \circ \psi ={\mathrm{Id}}_W$. Dann ist für jedes $w\in W$

$w=\phi (\psi (w)),$

also ist $\psi (w)$ ein Urbild für $w$ unter $\phi$.

$\Rightarrow$ Es sei $w_1,\dots ,w_n$ eine Basis von $W$ und es seien $v_1,\dots ,v_n$ Urbilder unter $\phi$, also Elemente in $V$ mit

$\phi (v_i)=w_i\text{ für alle }i=1,\dots ,n.$

Wir definieren nun eine lineare Abbildung $\psi :W\to V$ durch

$\psi (w_i):=v_i\text{ für alle }i=1,\dots ,n.$

Da man eine lineare Abbildung auf einer Basis frei vorgeben kann, ist dadurch in der Tat eine lineare Abbildung definiert.

Für die Verknüpfung $\phi \circ \psi$ und einen beliebigen Vektor $w=\sum _{i=1}^n{a}_i{w}_i$ gilt

$\begin{array}{cc}(\phi \circ \psi )(\sum _{i=1}^n{a}_i{w}_i)& =\phi (\psi (\sum _{i=1}^n{a}_i{w}_i))\\ & =\phi (\sum _{i=1}^n{a}_i\psi (w_i))\\ & =\phi (\sum _{i=1}^n{a}_i{v}_i)\\ & =\sum _{i=1}^n{a}_i\phi (v_i)\\ & =\sum _{i=1}^n{a}_i{w}_i.\end{array}$

Also ist diese Verknüpfung die Identität.

b) Wir definieren eine Abbildung durch

${\mathrm{Hom}}_K(W,\mathrm{kern}\phi )⟶S,\theta ⟼\theta +{\psi }_0,$

wobei $\theta +{\psi }_0$ die Addition von linearen Abbildungen von $W$ nach $V$ ist. Unter dieser Abbildung geht die Nullabbildung auf ${\psi }_0$. Wir müssen zuerst zeigen, dass $\theta +{\psi }_0$ zu $S$ gehört. Dies folgt aus

$\begin{array}{cc}(\phi \circ (\theta +{\psi }_0))(w)& =\phi ((\theta +{\psi }_0)(w))\\ & =\phi (\theta (w)+{\psi }_0(w))\\ & =\phi ({\psi }_0(w))\\ & =w\end{array}$

für alle $w\in W$.

Zur Injektivität. Seien ${\theta }_1$ und ${\theta }_2$ aus ${\mathrm{Hom}}_K(W,\mathrm{kern}\phi )$ gegeben, die auf das gleiche Element in $S$ abgebildet werden. Dann ist

${\theta }_1(w)+{\psi }_0(w)={\theta }_2(w)+{\psi }_0(w)\text{ für alle }w\in W$

und daher

${\theta }_1(w)={\theta }_2(w)\text{ für alle }w\in W.$

Zur Surjektivität. Es sei $\psi \in S$. Wir betrachten $\psi -{\psi }_0$ und behaupten, dass dies zu ${\mathrm{Hom}}_K(W,\mathrm{kern}\phi )$ gehört. Dies folgt aus

$\begin{array}{cc}\phi ((\psi -{\psi }_0)(w))& =\phi (\psi (w)-{\psi }_0(w))\\ & =\phi (\psi (w))-\phi ({\psi }_0(w))\\ & =w-w\\ & =0.\end{array}$

Damit ist $\psi =(\psi -{\psi }_0)+{\psi }_0$ im Bild der Abbildung.

Zur gelösten Aufgabe