a) Es gebe eine lineare Abbildung mit der angegebenen Eigenschaft . Dann ist für jedes
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also ist ein Urbild für unter .
Es sei eine Basis von und es seien Urbilder unter , also Elemente in mit
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Wir definieren nun eine lineare Abbildung
durch
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Da man eine lineare Abbildung auf einer Basis frei vorgeben kann, ist dadurch in der Tat eine lineare Abbildung definiert.
Für die Verknüpfung und einen beliebigen Vektor gilt
Also ist diese Verknüpfung die Identität.
b) Wir definieren eine Abbildung durch
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wobei die Addition von linearen Abbildungen von
nach ist. Unter dieser Abbildung geht die Nullabbildung auf . Wir müssen zuerst zeigen, dass zu gehört. Dies folgt aus
für alle .
Zur Injektivität. Seien
und
aus gegeben, die auf das gleiche Element in abgebildet werden. Dann ist
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und daher
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Zur Surjektivität. Es sei . Wir betrachten und behaupten, dass dies zu gehört. Dies folgt aus
Damit ist
im Bild der Abbildung.