Lineare surjektive Abbildung/Nicht injektiv/Bildmaß ist explodiertes Borel-Lebesgue-Maß/Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine lineare Abbildung, die surjektiv, aber nicht injektiv sei. Zeige, dass das Bildmaß ${}\mu =\varphi _{*}\lambda ^{n}$ für jede Borelmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ durch

${}\mu (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}\lambda ^{m}(T)=0\,,\\\infty ,{\text{ falls }}\lambda ^{m}(T)>0\,,\end{cases}}\,$

bestimmt ist.

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