Lineares Differentialgleichungssystem/Homogen/3/Dreiecksgestalt/1/Aufgabe/Lösung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}5&0&t\\0&-3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,$

Aus der dritten Zeile

${}z'=z\,$

mit der Anfangsbedingung ${}z(0)=1$ folgt direkt

${}z(t)=e^{t}\,.$

Entsprechend folgt aus der zweiten Zeile direkt

${}y(t)=e^{-3t}\,.$

Die erste Zeile liefert die eindimensionale Differentialgleichung

${}x'=5x+te^{t}\,.$

Dies ist eine eindimensionale inhomogene lineare Differentialgleichung. Die zugehörige homogene Gleichung besitzt die Lösung ${}e^{5t}$. Mit Variation der Konstanten, also dem Ansatz

${}x(t)=c(t)e^{5t}\,$

(siehe Fakt), ergibt sich die Bedingung

${}c'(t)=te^{t}\cdot e^{-5t}=te^{-4t}\,.$

Die Stammfunktion hiervon sind

$-{\frac {1}{4}}te^{-4t}-{\frac {1}{16}}e^{-4t}+c.$

Somit ist

${}x(t)={\left(-{\frac {1}{4}}te^{-4t}-{\frac {1}{16}}e^{-4t}+c\right)}e^{5t}\,$

und die Anfangsbedingung legt

${}c={\frac {17}{16}}\,$

fest. Die Lösung des Anfangswertproblems ist somit

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\left(-{\frac {1}{4}}te^{-4t}-{\frac {1}{16}}e^{-4t}+{\frac {17}{16}}\right)}e^{5t}\\e^{-3t}\\e^{t}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{4}}te^{t}-{\frac {1}{16}}e^{t}+{\frac {17}{16}}e^{5t}\\e^{-3t}\\e^{t}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe