Lineares Differentialgleichungssystem/Konstant/Komplexer Eigenvektor/Reelle Lösung/Aufgabe

Es sei

{}v'=Mv\,

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten zu einer reellen ${}n\times n$ -Matrix ${}M$ und sei ${}u\in {\mathbb {C} }^{n}$ ein Eigenvektor von ${}M$ zum Eigenwert ${}\lambda =a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$ .

Zeige, dass

{}e^{at}\cos \left(bt\right){\begin{pmatrix}\operatorname {Re} \,{\left(u_{1}\right)}\\\vdots \\\operatorname {Re} \,{\left(u_{n}\right)}\end{pmatrix}}

und

{}e^{at}\sin \left(bt\right){\begin{pmatrix}\operatorname {Im} \,{\left(u_{1}\right)}\\\vdots \\\operatorname {Im} \,{\left(u_{n}\right)}\end{pmatrix}}

Lösungen des Systems sind.