Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/7 -1 -5 3/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}\lambda -7&1\\5&\lambda -3\end{pmatrix}}&=(\lambda -7)(\lambda -3)-5\\&=\lambda ^{2}-10\lambda +16\\&=(\lambda -2)(\lambda -8).\end{aligned}}$

Die Eigenwerte sind also ${}2$ und ${}8$. Zum Kern von ${}{\begin{pmatrix}-5&1\\5&-1\end{pmatrix}}$ gehört ${}{\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}}$, daher ist ${}{\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}2$.

Zum Kern von ${}{\begin{pmatrix}1&1\\5&5\end{pmatrix}}$ gehört ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$, daher ist ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}8$. Nach Fakt bilden somit die Funktionen ${}e^{2t}{\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}}$ und ${}e^{8t}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$

ein Fundamentalsystem.

Zur gelösten Aufgabe