Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Basiswechsel/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei vorausgesetzt, dass

v^{'} = M v

ist. Dann gelten für $w = B v$ mit $B = (b_{i j})_{i j}$ die Gleichungen

\begin{matrix} w^{'} (t) & = (\begin{matrix} {w_{1}}^{'} (t) \\ ⋮ \\ {w_{n}}^{'} (t) \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} (b_{11} v_{1} (t) + \dots + b_{1 n} v_{n} (t))^{'} \\ ⋮ \\ (b_{n 1} v_{1} (t) + \dots + b_{n n} v_{n} (t))^{'} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} b_{11} v'_{1} (t) + \dots + b_{1 n} v'_{n} (t) \\ ⋮ \\ b_{n 1} v'_{1} (t) + \dots + b_{n n} v'_{n} (t) \end{matrix}) \\ = B (\begin{matrix} {v_{1}}^{'} (t) \\ ⋮ \\ {v_{n}}^{'} (t) \end{matrix}) \\ = B M (\begin{matrix} v_{1} (t) \\ ⋮ \\ v_{n} (t) \end{matrix}) \\ = B M B^{- 1} (\begin{matrix} w_{1} (t) \\ ⋮ \\ w_{n} (t) \end{matrix}), \end{matrix}

sodass $w$ die Differentialgleichung

w^{'} = N w

löst. Die inverse Transformation zeigt, dass zu einer Lösung von $w^{'} = N w$ die Abbildung $B^{- 1} w$ eine Lösung für $v^{'} = M v$ ist.