Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Zugehörige Lösung/Aufgabe

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ${}u\in {\mathbb {K} }^{n}$ ein Eigenvektor zu ${}M$ zum Eigenwert ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$. Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto ce^{\lambda t}u=c{\begin{pmatrix}e^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\e^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}},$

($c\in {\mathbb {K} }$) eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems ist.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen