Lineares Differentialgleichungssystem/t 1-t 0 1/Aufgabe/Kommentar

Wir haben es hier mit einem homogenen linearen Differentialgleichungssystem zu tun. Wichtig ist hierbei zu erkennen, dass das lineare System bereits Dreiecksgestalt besitzt, sodass wir nach Fakt schrittweise die Lösungen konstruieren können.

Tatsächlich besteht die zweite Zeile des Systems nur aus der Gleichung ${}y'=y$, für die wir bereits den Lösungsraum ${}y=c_{2}e^{t}$, ${}c_{2}\in \mathbb {R}$, kennen.

Die Lösung für ${}y$ können wir nun in die erste Zeile einsetzen und erhalten die inhomogene lineare Differentialgleichung

$x'=tx+(1-t)y=tx+(1-t)c_{2}e^{t}.$

Wie sieht die zugehörige homogene Gleichung aus und welches ist der inhomogene Anteil? Obwohl das ursprüngliche Differentialgleichungssystem homogen war, stoßen wir hier nun auf eine inhomogene Differentialgleichung, die wir lösen müssen. Dazu haben wir bereits ein allgemeines Lösungsverfahren in Fakt kennen gelernt.

Insgesamt ergeben sich daher welche Lösungen für das Differentialgleichungssystem?

Zur kommentierten Aufgabe