Lineares Gleichungssystem/Eliminationslemma/Fakt/Beweis

Beweis

Durch Umnummerieren kann man  $x=x_1$  erreichen. Es sei $G$ die Gleichung

$a{x}_1+\sum _{i=2}^n{a}_i{x}_i=b$

(mit $a\ne 0$) und $H$ die Gleichung

$c{x}_1+\sum _{i=2}^n{c}_i{x}_i=d.$

Dann hat die Gleichung

$H^{\prime }=H-\frac{c}{a}G$

die Gestalt

$\sum _{i=2}^n(c_i-\frac{c}{a}{a}_i)x_i=d-\frac{c}{a}b,$

in der $x_1$ nicht mehr vorkommt. Wegen  $H=H^{\prime }+\frac{c}{a}G$  sind die Gleichungssysteme äquivalent.

Zur bewiesenen Aussage