Lineares Gleichungssystem/Gausssches Eliminationsverfahren auf Lemma/Verfahren

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Gegeben sei ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über einem Körper . Dann wendet man auf eine geeignete Variable Fakt an und erhält ein äquivalentes Gleichungssystem bestehend aus einer linearen Gleichung , in der vorkommt, und einer Menge von Gleichungen, in denen nicht vorkommt. Das System ist äquivalent zu . Man wendet nun dieses Verfahren auf an (falls zwei von null verschiedene Gleichungen besitzt) und eliminiert dort eine weitere Variable, etc. So erhält man nach und nach Gleichungssysteme mit immer weniger Variablen und der Eigenschaft, dass äquivalent zu ist. Man ist fertig, wenn man nicht mehr eliminieren kann, und dies ist genau dann der Fall, wenn in nur noch eine von null verschiedene Gleichung steht.

Insgesamt erhält man so ein äquivalentes Gleichungssystem in „Stufenform“, das man einfach lösen kann.