Lineares Gleichungssystem/Superpositionsprinzip/Fakt

Das Superpositionsprinzip für lineare Gleichungssysteme

Es sei ${}M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}$ eine Matrix über einem Körper ${}K$. Es seien ${}c={\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right)}$ und ${}d={\left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)}$ zwei ${}n$-Tupel und es sei ${}y={\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)}\in K^{n}$ eine Lösung des linearen Gleichungssystems

${}Mx=c\,$

und ${}z={\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}\in K^{n}$ eine Lösung des Systems

${}Mx=d\,.$

Dann ist ${}y+z={\left(y_{1}+z_{1},\ldots ,y_{n}+z_{n}\right)}$ eine Lösung des Systems

$Mx=c+d.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen