Lineares Vektorfeld/2/Diagonalisierbar/Gradientenfeld/Aufgabe/Lösung

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  1. Wir betrachten

    Die Matrix besitzt obere Dreiecksgestalt und somit sind die Diagonaleinträge und die verschiedenen Eigenwerte und die Abbildung ist diagonalisierbar. Es sei die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also

    Dann ist

    Diese Funktion ist von zu zu integrieren. Der vordere Summand hat als Stammfunktion, das zugehörige bestimmte Integral ist daher gleich . Der hintere Summand besitzt aber ein negatives Integral und somit ist

  2. Es sei eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von , und es gelte

    Es sei eine stetig differenzierbare Kurve mit

    und seien die Komponentenfunktionen bezüglich der Orthonormalbasis. Dann ist

    Eine Stammfunktion von dieser Funktion ist

    Daher ist