Lineares Vektorfeld/2/Diagonalisierbar/Gradientenfeld/Aufgabe/Lösung
Erscheinungsbild
- Wir betrachten
Die Matrix besitzt obere Dreiecksgestalt und somit sind die Diagonaleinträge und die verschiedenen Eigenwerte und die Abbildung ist diagonalisierbar. Es sei die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also
Dann ist
Diese Funktion ist von zu zu integrieren. Der vordere Summand hat als Stammfunktion, das zugehörige bestimmte Integral ist daher gleich . Der hintere Summand besitzt aber ein negatives Integral und somit ist
- Es sei eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von , und es gelte
Es sei eine stetig differenzierbare Kurve mit
und seien die Komponentenfunktionen bezüglich der Orthonormalbasis. Dann ist
Eine Stammfunktion von dieser Funktion ist
Daher ist