Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Dreiecksgestalt/Lösung/Fakt

Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper ${}K$ in Dreiecksgestalt

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &+a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\0&\ldots &0&a_{2s_{2}}x_{s_{2}}&\ldots &\ldots &\ldots &+a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &\ldots &\ldots &0&a_{m{s_{m}}}x_{s_{m}}&\ldots &+a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

gegeben, wobei die Startkoeffizienten ${}a_{11},a_{2s_{2}},\ldots ,a_{ms_{m}}$ ungleich ${}0$ seien.

Dann stehen die Lösungen ${}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ in Bijektion zu den Tupeln

$(x_{2},\ldots ,x_{s_{2}-1},x_{s_{2}+1},\ldots ,x_{s_{3}-1},\ldots ,x_{s_{m}+1},\ldots ,x_{n})\in K^{s_{2}-2}\times K^{s_{3}-s_{2}-1}\times \cdots \times K^{n-s_{m}}.$

D.h. insgesamt sind jeweils in der ${}i$-ten Zeile die ${}s_{i+1}-s_{i}-1$ Variablen ${}x_{s_{i}+1},\ldots ,x_{s_{i+1}-1}$ frei wählbar und legen eine eindeutige Lösung fest, und jede Lösung wird dabei erfasst.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen