Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Dreiecksgestalt/Lösung/Fakt/Beweis

Beweis

Dies ist klar, da man eine Lösung ${}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ eindeutig aus den Gleichungen rekonstruieren kann, wenn man die Stellen ${}x_{1},x_{s_{2}},x_{s3},\ldots ,x_{sm}$ weglässt. Von unten nach oben gelesen kann man aus ${}x_{s_{m}+1},\ldots ,x_{n}$ die Komponente ${}x_{s_{m}}$ mit Hilfe der letzten Gleichung als

${}x_{s_{m}}={\frac {1}{a_{s_{m}}}}{\left(c_{m}-a_{m,s_{m}+1}x_{s_{m}+1}-\cdots -a_{m,n}x_{n}\right)}\,$

erhalten, die Komponente ${}x_{s_{m-1}}$ kann man aus ${}x_{s_{m-1}+1},\ldots ,x_{s_{m}-1},x_{s_{m}+1},\ldots ,x_{n}$ mit Hilfe der vorletzten Gleichung als

${}{\begin{aligned}x_{s_{m-1}}&={\frac {1}{a_{s_{m-1}}}}{\left(c_{m-1}-a_{m-1,s_{m-1}+1}x_{s_{m-1}+1}-\cdots -a_{m-1,s_{m}}x_{s_{m}}-\cdots -a_{m-1n}x_{n}\right)}\\&={\frac {1}{a_{s_{m-1}}}}{\left(c_{m-1}-a_{m-1,s_{m-1}+1}x_{s_{m-1}+1}-\cdots -a_{m-1,s_{m}}{\frac {1}{a_{s_{m}}}}{\left(c_{m}-a_{m,s_{m}+1}x_{s_{m}+1}-\cdots -a_{m,n}x_{n}\right)}-\cdots -a_{m-1n}x_{n}\right)}\end{aligned}}$

erhalten, u.s.w.

Zur bewiesenen Aussage