Logarithmus/Basis/Rechenregeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis ${}b$ die folgenden Rechenregeln erfüllen.

1. Es ist ${}\log _{b}{\left(b^{x}\right)}=x$ und ${}b^{\log _{b}(y)}=y$, das heißt der Logarithmus zur Basis ${}b$ ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.
2. Es gilt  ${}\log _{b}(y\cdot z)=\log _{b}y+\log _{b}z$. 
3. Es gilt  ${}\log _{b}y^{u}=u\cdot \log _{b}y$  für  ${}u\in \mathbb {R}$. 
4. Es gilt

   ${}\log _{a}y=\log _{a}{\left(b^{\log _{b}y}\right)}=\log _{b}y\cdot \log _{a}b\,.$

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