Logarithmus/Betrag/1+ sqrt(5) durch 2/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}&={\frac {1-{\sqrt {5}}\cdot {\sqrt {5}}}{4}}\\&={\frac {1-5}{4}}\\&={\frac {-4}{4}}\\&=-1\end{aligned}}$

   und somit

   ${}\vert {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\vert \cdot \vert {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\vert =1\,.$

   Da der Logarithmus die Multiplikation in die Addition überführt, ist

   ${}\ln \vert {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\vert +\ln \vert {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\vert =\ln 1=0\,$

   und somit

   ${}-\ln \vert {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\vert =\ln \vert {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\vert \,.$

   Durch Übergang zu den Beträgen erhält man Gleichheit.

2. Nach Teil (1) gilt

   ${}-\ln \vert {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\vert =\ln \vert {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\vert \,.$

   Da die Logarithmen nicht ${}0$ sind, gilt diese Gleichung nicht, wenn man das vordere Minuszeichen weglässt.

3. Es ist ${}{\sqrt {5}}>1$, somit ist ${}{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$ negativ. Davon ist der Logarithmus gar nicht definiert, man kann also die inneren Beträge nicht weglassen.

Zur gelösten Aufgabe