Logarithmus/Integration der Hyperbel/Funktionalgleichung/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Substitution

${}y=bx\,$

bzw.

${}x={\frac {1}{b}}y\,$

Aus den Grenzen ${}1$ und ${}a$ werden dabei die Grenzen ${}b$ und ${}ab$ und es gilt

${}\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}dx=\int _{b}^{ab}{\frac {b}{y}}d{\frac {1}{b}}y=\int _{b}^{ab}{\frac {1}{y}}dy\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}dx&=\int _{b}^{ab}{\frac {1}{x}}dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{x}}dx\\&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{x}}dx.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe