Logarithmus/Reihen und Integrale/Aufgabe

Man betrachte die Funktion ${}f:[0,1]\to \mathbb {R}$ gegeben durch:

f(x)={\begin{cases}-x\log(x)&{\text{falls }}x\neq 0,\\0&{\text{falls }}x=0.\end{cases}}

i) Man zeige, dass ${}f$ stetig in ${}[0,1]$ ist, und dass ${}0\leq f(x)\leq {\frac {1}{e}}$ für alle ${}x\in [0,1]$ .

ii) Man zeige, dass die aus Funktionen bestehende Folge

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-x\log(x))^{n}}{n!}}

gleichmäßig konvergiert im Intervall ${}[0,1]$ . (Für ${}n=0$ versteht man ${}(f(x))^{n}\equiv 0$ ) .

iii) Beweise:

\int _{0}^{1}(-x)^{m}\log(x)^{n}dx={\frac {(-1)^{n+m}n!}{(m+1)^{n+1}}}

für alle ${}m,n\in \mathbb {N}$ .

iv) Summieren Sie die Reihe in ii) und schließen Sie

\int _{0}^{1}x^{-x}dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{n+1}}}.