Logik/Modell/Maximal widerspruchsfrei/Beispiele/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist  ${}\Gamma =I^{\vDash }$  aufgrund des Korrektheitssatzes abgeschlossen unter Ableitungen. Für jeden ${}S$-Ausdruck ${}\alpha$ gilt die Alternative: Entweder  ${}\alpha \in \Gamma$  oder  ${}\neg \alpha \in \Gamma$.  Insbesondere ist ${}\Gamma$ widerspruchsfrei. Wenn  ${}\alpha \notin \Gamma$  ist, so ist  ${}\neg \alpha \in \Gamma$  und daher ist ${}\Gamma \cup \{\alpha \}$ widersprüchlich. Also ist ${}\Gamma$ maximal widerspruchsfrei.
Wir betrachten nun einen Ausdruck der Form  ${}\alpha =\exists x\beta$.  Wenn  ${}\alpha \notin \Gamma$  gilt, so gilt ${}\exists x\beta \rightarrow \beta {\frac {t}{x}}$ in ${}I$ für jeden Term ${}t$, da ja der Vordersatz nicht gilt. Wenn hingegen  ${}\alpha \in \Gamma$  gilt, so gibt es aufgrund des semantischen Aufbaus der Gültigkeitbeziehung ein  ${}m\in M$  derart, dass ${}I{\frac {m}{x}}\vDash \beta$ gilt. Wegen der vorausgesetzten Surjektivität der Belegung gibt es einen Term ${}t$, der durch ${}m$ interpretiert wird. Daher gilt nach dem Substitutionslemma ${}\beta {\frac {t}{x}}$ in ${}I$. Also gilt ${}\exists x\beta \rightarrow \beta {\frac {t}{x}}$ in ${}I$.

Zur bewiesenen Aussage