Logik/Modell/Maximal widerspruchsfrei/Beispiele/Fakt/Beweis

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Beweis

Zunächst ist aufgrund des Korrektheitssatzes abgeschlossen unter Ableitungen. Für jeden -Ausdruck gilt die Alternative: Entweder oder . Insbesondere ist widerspruchsfrei. Wenn ist, so ist und daher ist widersprüchlich. Also ist maximal widerspruchsfrei.
Wir betrachten nun einen Ausdruck der Form . Wenn gilt, so gilt in für jeden Term , da ja der Vordersatz nicht gilt. Wenn hingegen gilt, so gibt es aufgrund des semantischen Aufbaus der Gültigkeitbeziehung ein derart, dass gilt. Wegen der vorausgesetzten Surjektivität der Belegung gibt es einen Term , der durch interpretiert wird. Daher gilt nach dem Substitutionslemma in . Also gilt in .

Zur bewiesenen Aussage