Logik/Modell/Maximal widerspruchsfrei/Beispiele/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist ${}\Gamma =I^{\vDash }$ aufgrund des Korrektheitssatzes abgeschlossen unter Ableitungen. Für jeden ${}S$-Ausdruck ${}\alpha$ gilt die Alternative: Entweder ${}\alpha \in \Gamma$ oder ${}\neg \alpha \in \Gamma$. Insbesondere ist ${}\Gamma$ widerspruchsfrei. Wenn ${}\alpha \notin \Gamma$ ist, so ist ${}\neg \alpha \in \Gamma$ und daher ist ${}\Gamma \cup \{\alpha \}$ widersprüchlich. Also ist ${}\Gamma$ maximal widerspruchsfrei.
Wir betrachten nun einen Ausdruck der Form ${}\alpha =\exists x\beta$. Wenn ${}\alpha \notin \Gamma$ gilt, so gilt ${}\exists x\beta \rightarrow \beta {\frac {t}{x}}$ in ${}I$ für jeden Term ${}t$, da ja der Vordersatz nicht gilt. Wenn hingegen ${}\alpha \in \Gamma$ gilt, so gibt es aufgrund des semantischen Aufbaus der Gültigkeitbeziehung ein ${}m\in M$ derart, dass ${}I{\frac {m}{x}}\vDash \beta$ gilt. Wegen der vorausgesetzten Surjektivität der Belegung gibt es einen Term ${}t$, der durch ${}m$ interpretiert wird. Daher gilt nach dem Substitutionslemma ${}\beta {\frac {t}{x}}$ in ${}I$. Also gilt ${}\exists x\beta \rightarrow \beta {\frac {t}{x}}$ in ${}I$.

Zur bewiesenen Aussage