Logik erster Stufe/Ableitungen repräsentierbar/Unvollständig/Auffüllung/Bemerkung

Was passiert mit den Voraussetzungen in Fakt, wenn man den Satz ${}q$ (oder seine Negation) einfach zu ${}\Gamma$ hinzunimmt? Zunächst führt die Hinzunahme von ${}q$ noch von ${}\neg q$ zu einem widersprüchlichen System. Im Beweis haben wir die Annahme ${}\Gamma \vdash q$ (bzw. $\Gamma \vdash \neg q$) zu einem Widerspruch geführt, das bedeutet aber nicht ${}\Gamma '=\Gamma \cup \{q\}\vdash p\wedge \neg p$. Ein Problem ist hierbei, dass die neue Ableitungsmenge ${}(\Gamma \cup \{q\})^{\vdash }$ nicht mehr repräsentierbar in ${}\Gamma \cup \{q\}$ sein muss. Vor allem aber ist sie keinesfalls mit dem alten Ableitungsausdruck ${}a(x)$ repräsentierbar, sondern, wenn überhaupt, mit einem neuen ${}a'(x)$. Für dieses gibt es dann wieder einen neuen Fixpunkt ${}q'$. Es gibt keine rekursive Strategie, ${}\Gamma$ zu einer vollständigen Theorie aufzufüllen.