Logistische Differentialgleichung/y' ist y mal (5-3y)/Probe/Aufgabe/Lösung

Es ist einerseits

${}y'(t)={\frac {-5\cdot 2\cdot (-5)\cdot e^{-5t}}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}={\frac {50e^{-5t}}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}\,$

und andererseits ebenso

${}{\begin{aligned}y(t)(5-3y(t))&={\frac {5}{2e^{-5t}+3}}{\left(5-3{\frac {5}{2e^{-5t}+3}}\right)}\\&={\frac {25}{2e^{-5t}+3}}-{\frac {75}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}\\&={\frac {25(2e^{-5t}+3)-75}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}\\&={\frac {50e^{-5t}}{(2e^{-5t}+3)^{2}}}.\end{aligned}}$

Ferner ist

${}y(0)={\frac {5}{2e^{0}+3}}={\frac {5}{2+3}}=1\,.$

Zur gelösten Aufgabe